Plantilla para generar exámenes cuyas respuestas se oculte de manera automática. Se basa en la clase aleph-examen.cls del proyecto Alephsub0.
\documentclass[10pt,respuestas,a4]{aleph-examen}
%\documentclass[10pt,a4]{aleph-examen}
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% clase en https://github.com/alephsub0/LaTeX_aleph-examen
% -- Paquetes
\usepackage{aleph-comandos}
% -- Datos del examen
\institucion{Proyecto Alephsub0}
% \carrera{}
\asignatura{Introducción al cálculo}
\tema{Examen no. 1: Lógica y Números reales}
\autor{Andrés Merino - Mario Cueva}
\fecha{Semestre 2023-1}
\logouno[4.5cm]{Logos/LogoAlephsub0-02}
\definecolor{colortext}{HTML}{0030A1}
\definecolor{colordef}{HTML}{0030A1}
\fuente{montserrat}
% -- Comandos extra
% \geometry{margin=2cm} % - Para cambiar los márgenes
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\begin{document}
\encabezado
\begin{preguntas}
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\item
La Sonda Solar Parker es una misión de la NASA cuyo objetivo es acercarse a la corona del Sol. Suponga que la sonda detecta que en un punto determinado del espacio, la temperatura en la dirección $(1,1,1)$ disminuye a razón de dos unidades, en la dirección $(1,0,1)$ aumenta a razón de una unidad y en la dirección $(0,-1,1)$ disminuye en razón de una unidad. Si, además de esto, la sonda detecta que está en un lugar donde la temperatura puede afectar su funcionamiento y debe alejarse de tal manera que la temperatura disminuya a la mayor razón, ¿qué dirección debe seguir la sonda?\puntaje{2.0}
\begin{respuesta}
Sean $\func{f}{\R^3}{\R}$ la función que modela la temperatura y $a\in\R^3$ el punto donde se encuentra la sonda. Se conoce que
\[
f'(a;(1,1,1)) = -2,
\qquad
f'(a;(1,0,1)) = 1
\texty
f'(a;(0,-1,1)) = -1.
\]
Se busca la dirección de máximo decrecimiento de la función, la cual es contraria al gradiente, por lo tanto, debemos calcular $\nabla f(a)$. Sabemos que
\[
f'(a;(1,1,1)) = \nabla f(a) \cdot (1,1,1),
\qquad
f'(a;(1,0,1)) = \nabla f(a) \cdot (1,0,1)
\]
t
\[
f'(a;(0,-1,1)) = \nabla f(a) \cdot (0,-1,1),
\]
por lo tanto
\[
\nabla f(a) \cdot (1,1,1) = -2,
\qquad
\nabla f(a) \cdot (1,0,1) = 1
\texty
\nabla f(a) \cdot (0,-1,1) = -1
\]
Si tomamos $\nabla f(a) = (u,v,w)$, tenemos que
\[
-2 = \nabla f(a) \cdot (1,1,1) = (u,v,w) \cdot (1,1,1) = u + v + w,
\]
\[
1 = \nabla f(a) \cdot (1,0,1) = (u,v,w) \cdot (1,1,1) = u + w
\]
y
\[
-1 = \nabla f(a) \cdot (0,-1,1) = (u,v,w) \cdot (-1,1) = -v + w,
\]
por lo tanto
\[
u = 5
\qquad
v = -3
\texty
w = -4.
\]
Con esto, se tiene que
\[
\nabla f(a) = (5,-3,-4),
\]
por lo tanto, la dirección que debe seguir la sonda es $(-5,3,4)$.
\end{respuesta}
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\item
\begin{enumerate}
\item
Utilizando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo calcular $\dint_0^2 x\cos(\pi x^2)\,dx$.\puntaje{1.0}
\item
Utilizando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo determinar la derivada de la función definida por $F(x)= \dint_1^{x^2} \frac{\sen(t)}{t} \,dt$, para $x>0$.\puntaje{1.0}
\end{enumerate}
\begin{respuesta}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item
Tomemos el cambio de variable
\[
u = \pi x^2\qquad
du = 2\pi x\, dx
\]
con lo cual, tenemos
\[
\begin{array}{c|c}
x & u\\ \hline
0 & 0 \\
2 & 4\pi
\end{array}
\]
Por lo tanto
\begin{align*}
\int_0^2 x\cos(\pi x^2)\,dx
& = \frac{1}{2\pi}\int_0^{4\pi} \cos(u)\,du \\
& = \frac{1}{2\pi}\left( \sen(u) \right)\bigg|_0^{4\pi}\\
& = \frac{1}{2\pi}\left(\sen(4\pi)-\sen(0)\right)=0.
\end{align*}
\item
Dado que la función definida por
\[
t\mapsto \frac{\sen(t)}{t}
\]
es continua entre $1$ y $x^2$ y la función $x\to x^2$ es derivable, se tiene que
\[
F'(x)
= \frac{d}{dx}\left(\int_0^{x^2} \frac{\sen(t)}{t}\, dt\right)
= \frac{\sen(x^2)}{x^2}(x^2)'
= \frac{\sen(x^2)}{x^2}(2x)
= \frac{2\sen(x^2)}{x}.\qedhere
\]
\end{enumerate}
\end{respuesta}
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\item
La derivada de la función definida por $f(x)=x^2$ es
\opciones{$f'(x)=x^2$}{$f'(x)=x$}{$f'(x)=2x$}{$f'(x)=2x^2$}
\begin{respuesta}
La opción correcta es la \textit{c)}.
\end{respuesta}
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\item
La derivada de la función definida por $f(x)=x^2$ es
\opcionesl{$f'(x)=x^2$}{$f'(x)=x$}{$f'(x)=2x$}{$f'(x)=2x^2$}
\begin{respuesta}
La opción correcta es la \textit{c)}.
\end{respuesta}
\end{preguntas}
\end{document}