MonografiaModelo UFJF
Forfatter:
Jairo Francisco de Souza
Sidst opdateret:
6 år siden
Licens:
Creative Commons CC BY 4.0
Resumé:
Modelo de Monografia da UFJF
\begin
Discover why over 20 million people worldwide trust Overleaf with their work.
Modelo de Monografia da UFJF
\begin
Discover why over 20 million people worldwide trust Overleaf with their work.
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
%-----------------------------------------------------------
\documentclass[a4paper,12pt]{monografia}
\usepackage[portuguese, colorinlistoftodos, textsize=tiny]{todonotes}
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\newcounter{todocounter}
\newcommand{\comment}[2][]
{\stepcounter{todocounter}\todo[caption={\thetodocounter: #2}, #1]
{\begin{spacing}{1}\thetodocounter: #2\end{spacing}}}
\reversemarginpar
\setlength{\marginparwidth}{2.5cm}
\lstloadlanguages{C}
%-----------------------------------------------------------
%-----------------------------------------------------------
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
\newtheorem{axiom}{Axioma}[section]
\newtheorem{corollary}{Corol\'ario}[section]
\newtheorem{lemma}{Lema}[section]
\newtheorem{proposition}{Proposi\c{c}\~ao}[section]
%-----------------------------------------------------------
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Defini\c{c}\~ao}[section]
\newtheorem{example}{Exemplo}[section]
%-----------------------------------------------------------
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{Observa\c{c}\~ao}[section]
%-----------------------------------------------------------
%-----------------------------------------------------------
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
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\newcommand{\V}{{\cal V}}
%-----------------------------------------------------------
\def\ind{\hbox{ ind }}
%-----------------------------------------------------------
\include{hifenizacao}
\begin{document}
\include{pretexto}
%----------------------------dedicat\'oria opcional--------------
\begin{dedicatoria}
Aos meus amigos e irm\~aos.\\
Aos pais, pelo apoio e sustento.\\
\end{dedicatoria}
%--------Digite aqui o seu resumo em Portugu\^es--------------
\resumo{Resumo} As instru\c{c}\~oes aqui contidas objetivam auxiliar os autores na prepara\c{c}\~ao de documentos para impress\~ao de monografias do Departamento de Ci\^encia da Computa\c{c}\~ao. Os estilos encontram-se definidos em um modelo denominado Monografia.cls. O resumo deve ser escrito na mesma l\'ingua do texto (Portugu\^es, Ingl\^es ou Espanhol) e descreve o conte\'udo do texto em cerca de 150-200 palavras. Esta \'e a primeira vers\~ao das instru\c{c}\~oes e dos formatos e, portanto, sujeita a incorre\c{c}\~oes e omiss\~oes. Sugest\~oes de melhorias s\~ao muito benvindas: envie mensagem para jairo.souza@ufjf.edu.br.
\noindent \\ \textbf{Palavras-chave:} Monografia, latex, instru\c{c}\~oes.
%-----------Digite aqui o seu resumo em Ingl\^es--------------
\resumo{Abstract} You must summarize your work in 150-200 words.
\noindent \\ \textbf{Keywords:} Monograph, latex, instructions.
%-----------Ou digite aqui o seu resumo em Frances----------
%\resumo{Resumo} C'est un mod\'ule de la monographie dans \LaTeX et
%5utilise la classe monografia.cls, avec le but de aider dans le
%maniement des travaux de conclusion des plusieurs cours de
%l'Universit\'e F\'ed\'erale de Juiz de Fora.
%-----------------------------------------------------------
\agradecimento{Agradecimentos} \indent\indent
A todos os meus parentes, pelo encorajamento e
apoio.
Ao professor Beltrano pela orienta\c{c}\~ao, amizade e
principalmente, pela paci\^encia, sem a qual este trabalho n\~ao se
realizaria.
Aos professores do Departamento de Ci\^encia da Computa\c{c}\~ao pelos seus
ensinamentos e aos funcion\'arios do curso, que durante esses anos,
contribu\'iram de algum modo para o nosso enriquecimento pessoal e
profissional.
\newpage
%---------------------- EPÍGRAFE I (OPCIONAL)--------------
\begin{epigrafe}
``Lembra que o sono \'e sagrado e alimenta de horizontes o tempo acordado de viver''.\\
\hfill Beto Guedes (Amor de Índio)
\end{epigrafe}
%----Sum\'ario, lista de figura e de tabela ------------
\tableofcontents \thispagestyle{empty} \listoffigures
\thispagestyle{empty} \listoftables \thispagestyle{empty}
%----Gloss\'ario ------------
\chapter*{Lista de Abrevia\c{c}\~oes} \addcontentsline{toc}{chapter}{Lista de Abrevia\c{c}\~oes}
\doublespacing \begin{tabular}{l l}
DCC & Departamento de Ci\^encia da Computu\c{c}\~ao \\
UFJF & Universidade Federal de Juiz de Fora \\
\end{tabular} \thispagestyle{empty}
%---------------------
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%--------------In\'icio do Conte\'udo---------------------------
%
%
\pagestyle{ruledheader}
\chapter{Introdu\c{c}\~ao}
Este modelo pretende atender \`as necessidades de padroniza\c{c}\~ao dos trabalhos de monografia do Departamento de Ci\^encia da Computa\c{c}\~ao, Instituto de Ci\^encias Exatas da Universidade Federal de Juiz de Fora e servir de guia para alunos e professores.
Elaborado com base nas normas da ABNT, este modelo cont\'em a formata\c{c}\~ao essencial para apresenta\c{c}\~ao de trabalhos acad\^emicos, contempladas em cinco partes:
O texto pode ser preparado usando LaTeX (ou TeX). Por favor, procure seguir as instru\c{c}\~oes para que as monografias do DCC possuam uma apar\^encia uniforme.
\section{Figuras}
A impress\~ao de monografias normalmente feita em tons de branco e preto. Portanto, evite fazer uso de fotografias coloridas, a menos que, quando transformadas em tons de cinza seus detalhes continuem vis\'iveis.
As figuras devem ser integradas no texto, centralizadas de acordo com as margens. Para testar a visibilidade dos detalhes de suas figuras, por favor, fa\c{c}a a gera\c{c}\~ao de um arquivo imagem de impress\~ao (postscript) e observem se todos os detalhes est\~ao perfeitamente vis\'iveis e os textos leg\'iveis. As figuras devem ser numeradas e todas devem ter uma legenda explicativa.
Tenha especial cuidado com figuras feitas diretamente com as ferramentas MSOffice. Se a figura ocupar uma p\'agina completa, certifique-se que esta n\~ao ultrapasse as margens. Evite colocar figuras e tabelas no formato paisagem, vide a figura ~\ref{fig:logoufjf}.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics{./figs/logoInstituicao.png} % logo-ufjf1.png: 196x111 pixel, 72dpi, 6.91x3.92 cm, bb=0 0 196 111
\caption{Logotipo da Universidade Federal de Juiz de Fora}
\label{fig:logoufjf}
\end{center}
\end{figure}
\section{F\'ormulas e equa\c{c}\~oes}
Equa\c{c}\~oes e F\'ormulas devem ser colocadas em uma nova linha, centralizadas e numeradas consecutivamente para fins de refer\^encia, como pode ser observado na equa\c{c}\~ao ~\ref{eq:exemplo}.
\begin{equation}
\int_{0}^{\infty}f(x)dx = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = sin(x)
\label{eq:exemplo}
\end{equation}
\section{Algoritmos}
As listagens de c\'odigo de programas n\~ao s\~ao consideradas figuras, de modo que n\~ao necessitam ter legenda. Listagens de c\'odigo geralmente trechos de c\'odigo retirados de programa, como c\'odigos C, Java ou XML. Para fins de refer\^encia, as linhas do c\'odigo podem ser numeradas.
Por exemplo, o c\'odigo a seguir mostra uma classe Java, onde a linha 6 inicia um comando que se estende por diversas linhas.
\lstset{tabsize=5,language=C,showstringspaces=false,basicstyle=\ttfamily\small,keywordstyle=\bf,breaklines=true}
\begin{singlespacing}
\begin{lstlisting}[frame=single,framexrightmargin=1pt,numbers=left]
import java.util.Random;
class Aleatorios {
public static void main (String[] args) {
Random qq=new Random();
for (int k=1;k<10;k++)
System.out.println(qq.nextInt(100) + "\n" + Math.random());
}
}
\end{lstlisting}
\end{singlespacing}
Algoritmos geralmente s\~ao apresentados como pseudo-c\'odigos, os quais possuem uma formata\c{c}\~ao formal conhecida dos livros de computa\c{c}\~ao. Diferentemente das listagens, os algoritmos costumam possuir legendas, como no algoritmo ~\ref{alg:exemplo} abaixo.
\begin{algorithm}
\label{alg:exemplo}
\caption{Ler n\'umero e imprimir se \'e par ou n\~ao.}
\Entrada{n\'umero, ($numero$).}
\Saida{Se o n\'umero \'e par ou n\~ao}
\Inicio{
\textbf{ler} $numero$\;
\eSe {$numero \% 2 = 0$} {
\textbf{imprimir} $numero$, " par"\;
} {
\textbf{imprimir} $numero$, " impar"\;
}
}
\end{algorithm}
\section{Tabelas}
Tabelas necessitam de legenda superior, conforme mostrado na tabela~\ref{tab:modelos}.
\begin{table}[ht]
\centering
\caption{Porcentagem de modelos por marca}
\label{tab:modelos}
\begin{tabular}{| c | c |}
\hline
Marca & Porcentagem \\
\hline \hline
XPTO & 60\% \\
\hline
ZWY & 10\% \\
\hline
AWK & 10\% \\
\hline
HKL & 10\% \\
\hline
TPOI & 5\% \\
\hline
SSO & 5\% \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\section{Notas de rodap\'e}
As notas de rodap\'e s\~ao usadas ao longo do texto para esclarecimentos r\'apidos sobre algum conceito ou para refer\^encia a algum endere\c{c}o da web, como, por exemplo, na seguinte frase: "A W3C\footnote{http://www.w3.org} \'e o cons\'orcio regulador da Web".
\section{Cita\c{c}\~oes e refer\^encias}
Ao longo do texto, as cita\c{c}\~oes s\~ao feitas atrav\'es do formato (AUTOR, ANO). Ao final, a lista de refer\^encias deve ter o nome de Refer\^encias Bibliogr\'aficas, sem numera\c{c}\~ao de se\c{c}\~ao. n\~ao colocar quebra de p\'agina antes.
Para inserir refer\^encias no documento Latex, se utilize do pacote \textsc{abntex2cite} e uso os comandos \textsc{cite} e \textsc{citeonline}. Com o comando \textsc{cite} as refer\^encias ficam como \cite{stojanovic2002} ou \cite{souza2010book, souza2008ismicka} em caso de refer\^encias consecutivas. Com o comando \textsc{citeonline} as refer\^encias ficam no formato de cita\c{c}\~ao usadas para seten\c{c}as que citam o autor: "Segundo \citeonline{zhang2007}...".
\section{Coment\'arios}
Durante o trabalho de confec\c{c}\~ao da monografia, o aluno ter\'a que enviar v\'arias vers\~oes para o orientador e este retornar\'e as vers\~oes com coment\'arios sobre o texto. Para facilitar esse trabalho de revis\~ao do aluno e orientador, pode-se incluir no texto coment\'arios do pacote \textsc{todonotes}. Os coment\'arios podem ser dispostos \textsc{na margem} \comment{Este \'e um coment\'ario na margem da p\'agina} ou ser do tipo \textsc{inline}.\comment[inline]{Este \'e um coment\'ario inline}
Caso voc\^e v\'a inserir uma figura no texto mas ainda n\~ao o fez, voc\^e pode informar isso ao seu orientador como no exemplo abaixo:
\missingfigure{A figura ainda ser\'a criada e inserida aqui.}
Com esse pacote \textsc{todonotes} voc\^e pode tamb\'em inserir em um local da sua monografia um \'indice de todos os coment\'arios que o seu orientador fez, para que voc\^e se lembre do que ainda tem que ser corrigido na monografia. Veja abaixo:
\begin{singlespacing}\listoftodos\end{singlespacing}
\comment[color=green!40]{Lembre-se: todos os coment\'arios e a lista de tarefas \textbf{devem} ser retirados do texto na vers\~ao que ser\'a enviada para a banca.}
\chapter{Texto de exemplo}
\section{A no\c{c}\~ao de fun\c{c}\~ao}
\indent\indent Iremos trabalhar com a no\c{c}\~ao intuitiva de fun\c{c}\~ao.
Uma defini\c{c}\~ao formal de fun\c{c}\~ao, na qual se faz uso da linguagem de
conjuntos e produtos cartesiano, ser\'a dada no Anexo I.
Uma fun\c{c}\~ao envolve um conjunto $A$, chamado de \textsc{dom\'inio},
um conjunto $B$ chamado de \textsc{contradom\'inio} e uma regra
denotada por $f:A \rightarrow B$, que nos diz como associar a cada
$a \in A$, um \'unico $f(a)=b \in B$, chamado de \textsc{valor de}
$f$ \textsc{no ponto} $a$ ou \textsc{imagem de} $a$ \textsc{pela
fun\c{c}\~ao} $f$.
\begin{example}\label{R2emR}
Seja $A=\R^2$, ou seja, os conjunto de todos os pares ordenados
$(x,y)$ tais que $x,y \in \R$ e seja $B=\R$ o conjunto dos n\'umeros
reais. Ent\~ao $f:A \rightarrow B$, definida para cada par $(x,y)$
por $f(x,y)=x$ \'e uma fun\c{c}\~ao, uma vez que, para cada par $(x,y)$,
corresponde um \'unico $x \in \R$.
\end{example}
\begin{example}
Se tomarmos $A=\R$ e $B=\R^2$ a regra $g:A \rightarrow B$,
definida para cada $x \in \R$ por $g(x)=(x,y)$ onde $y \in \R$,
n\~ao \'e uma fun\c{c}\~ao pois, para cada $x \in \R$, existem infinitos
pares ordenados $(x,y) \in \R^2$.
\end{example}
\begin{definition}
Duas fun\c{c}\~oes $f:A \rightarrow B$ e $g:C \rightarrow D$ s\~ao iguais
se as seguintes condi\c{c}\~oes s\~ao satisfeitas:
\begin{enumerate}
\item $A=C$ e $B=D$;
\item para cada $a \in A$, $f(a)=g(a)$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}
Dada uma fun\c{c}\~ao $f:A \rightarrow B$, o subconjunto de $B$ formado
pelos elementos $b=f(a)$, com $a \in A$, \'e chamado de
\textsc{imagem} de $A$ por $f$, ou \textsc{imagem} de $f:A
\rightarrow B$.
\end{definition}
Usaremos $Im(f)$ ou $f(A)$ para denotar a imagem de $f:A
\rightarrow B$. Portanto, temos
$$
f(A)=\{b=f(a)\in B\;;\; a \in A\}.
$$
\section{Fun\c{c}\~oes Injetivas, Sobrejetivas e Bijetivas}
\begin{definition}
Seja $f:A \rightarrow B$ uma fun\c{c}\~ao. Dizemos que:
\begin{enumerate}
\item $f$ \'e \textsc{injetiva} (ou \textsc{um-a-um}, ou \textsc{injetora}, ou uma
\textsc{inje\c{c}\~ao}) sempre que $a \neq a'$ em $A$, $f(a)\neq
f(a')$ em $B$;
\item $f$ \'e \textsc{sobrejetiva} (ou \textsc{sobre}, ou \textsc{sobrejetora}, ou uma
\textsc{sobreje\c{c}\~ao}) sempre que $f(A)=B$;
\item $f$ \'e \textsc{bijetiva} (ou \textsc{bijetora}, ou uma \textsc{bije\c{c}\~ao}) se $f$
\'e injetiva e sobrejetiva.
\end{enumerate}
\end{definition}
Observe que, equivalentemente, podemos dizer que $f:A \rightarrow
B$ \'e injetiva sempre que $f(a)=f(a')$ implicar em $a=a'$.
\begin{example}
A fun\c{c}\~ao do exemplo (\ref{R2emR}) \'e sobrejetiva. De fato, dado $x'
\in \R$, para qualquer $y \in \R$, temos $f(x',y)=x'$. Observe
tamb\'em que tal fun\c{c}\~ao n\~ao \'e injetora pois, por exemplo
$f(2,1)=f(2,3)$, mas $(2,1)\neq (2,3)$.
\end{example}
\begin{definition}
Dados uma fun\c{c}\~ao $f:A \rightarrow B$ e $C\subseteq A$, definimos a
\textsc{restri\c{c}\~ao de} $f$ \textsc{a} $C$ como sendo a fun\c{c}\~ao $g:C
\rightarrow B$, definida por $g(c)=f(c)$, para todo $c \in C$.
Normalmente usa-se a nota\c{c}\~ao $f|_C$ para indicar a restri\c{c}\~ao de
$f$ a $C$.
\end{definition}
\begin{definition}
Sejam $f:A \rightarrow B$ uma fun\c{c}\~ao, $C \subseteq A$ e $D
\subseteq B$. Definimos:
\begin{enumerate}
\item a \textsc{imagem (direta) de} $C$ por $f$ com sendo o subconjunto
de $f(A)$ dado por
$$
f(C)=\{f(x)\;;\; x \in C \},
$$
\item e a \textsc{imagem inversa de} $D$ por $f$ como sendo o subconjunto
de $A$ dado por
$$
f^{-1}(D)=\{a \in A\;;\; f(a) \in D \}.
$$
\end{enumerate}
\end{definition}
Note que a imagem inversa $f^{-1}(D)$, de um conjunto $D$ por uma
fun\c{c}\~ao $f$ pode ser o conjunto vazio, mesmo que $D$ n\~ao seja o
conjunto vazio. Por exemplo, considere a fun\c{c}\~ao $f:A \rightarrow
B$, onde $A=B=\R$, definida por $f(x)=|x|$. Ent\~ao, se $$D=\{x \in
\R\;;\; x<0\},$$ teremos que $f^{-1}(D)=\emptyset$, uma vez que
n\~ao existe $x \in \R$ tal que $|x|<0$.
\begin{proposition}\label{Img-direta}
Sejam $f:A \rightarrow B$ uma fun\c{c}\~ao e $C, D$ subconjuntos de $A$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Se $C \subseteq D$, ent\~ao $f(C)\subseteq f(D)$;
\item[(b)] $f(C \cup D)=f(C)\cup f(D)$;
\item[(c)] $f(C \cap D) \subseteq f(C)\cap f(D)$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Se $y \in f(C)$, ent\~ao existe $c \in C$ tal que $y
= f(c)$. Como $C \subseteq D$, segue que $c \in D$ e portanto
$y=f(c) \in f(D)$, isto \'e, $f(C)\subseteq f(D)$.
\item[(b)] Seja $y \in f(C \cup D)$. Ent\~ao existe $x \in C \cup
D$ tal que $y=f(x)$. Logo $x \in C$ ou $x \in D$. Se $x \in
C$, temos que $y=f(x) \in f(C)$. Mas se $x \in D$, teremos
$y=f(x) \in f(D)$. Logo $y \in f(C) \cup f(D)$ o implica em
$f(C \cup D)\subseteq f(C)\cup f(D)$.
Por outro lado, como $C \subseteq C \cup D$, segue do item (a)
que $f(C) \subseteq f(C \cup D)$. Da mesma maneira temos que $D
\subseteq C \cup D$ o que implica que $f(D) \subseteq f(C \cup D)$.
Portanto $f(C)\cup f(D)\subseteq f(C \cup D)$.
\item[(c)] Como $C \cap D \subseteq C$, segue que $f(C\cap D)
\subseteq f(C)$. Analogamente, temos $f(C\cap D)\subseteq
f(D)$. Assim, podemos concluir que $f(C \cap D) \subseteq
f(C)\cap f(D)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
Devemos observar que em geral, no item \emph{(c)} da proposi\c{c}\~ao
(\ref{Img-direta}), n\~ao se pode substituir o sinal de inclus\~ao
pelo sinal de igualdade, ou seja nem sempre vale a inclus\~ao
oposta. Por exemplo, sejam $A=B=\R$ e $f:A \rightarrow B$ definida
por $f(x)=x^2$, $C=\{x \in \R\;;\; -1 \leq x <0\}$ e $D=\{x \in \R
\;;\; 0 <x \leq 1\}$. Ent\~ao
$$
f(C)=f(D)=\{x \in \R \;;\; 0 <x \leq 1\}=f(C)\cap f(D).
$$
Por outro lado $C \cap D= \emptyset$ o que implica em $f(C \cap
D)=\emptyset$. Portanto $$f(C)\cap f(D) \nsubseteq f(C \cap D).$$
\begin{proposition}\label{Img-inversa}
Sejam $f:A \rightarrow B$ uma fun\c{c}\~ao e $E, F$ subconjuntos de $B$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Se $E \subseteq F$, ent\~ao $f^{-1}(E)\subseteq f^{-1}(F)$;
\item[(b)] $f^{-1}(E \cup F)=f^{-1}(E)\cup f^{-1}(F)$;
\item[(c)] $f^{-1}(E \cap F)=f^{-1}(E)\cap f^{-1}(F)$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Se $a \in f^{-1}(E)$, ent\~ao $f(a) \in E$.
Como $E \subseteq F$, segue que $f(a) \in F$, isto \'e,
$a \in f^{-1}(F)$. Portanto $f^{-1}(E)\subseteq f^{-1}(F)$.
\item[(b)] Como $E \subseteq E \cup F$ e $F \subseteq E \cup
F$, segue que $f^{-1}(E) \cup f^{-1}(F) \subseteq f^{-1}(E \cup
F)$.
Por outro lado, se $a \in f^{-1}(E \cup F)$, ent\~ao $f(a) \in E
\cup F$, ou seja, $f(a) \in E$ ou $f(a) \in F$ e isto implica em
$a \in f^{-1}(E)$ ou $a \in f^{-1}(F)$. Logo $a \in
f^{-1}(E)\cup f^{-1}(F)$. Portanto $f^{-1}(E \cup F)
\subseteq f^{-1}(E)\cup f^{-1}(F)$.
\item[(c)] Como $E \cap F \subseteq E$ e $E \cap F \subseteq
F$, temos que $f^{-1}(E \cap F)\subseteq f^{-1}(E)\cap
f^{-1}(F)$.
Reciprocamente, se $a \in f^{-1}(E) \cap f^{-1}(F)$, ent\~ao
$f(a) \in E$ e $f(a) \in F$. Portanto, $f(a) \in (E \cap
F)$, ou seja, $a \in f^{-1}(E \cap F)$. Logo $f^{-1}(E)
\cap f^{-1}(F) \subseteq f^{-1}(E \cap F)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\section{Composi\c{c}\~ao de Fun\c{c}\~oes}
\begin{definition}
Sejam $f:A \rightarrow B$ e $g:B \rightarrow C$ duas fun\c{c}\~oes. A
composi\c{c}\~ao $g \circ f$ \'e a fun\c{c}\~ao de $A$ em $C$, definida por $(g
\circ f)(a)=g(f(a))$.
\end{definition}
\begin{example}\label{log-sen}
Considere as fun\c{c}\~oes $\log :\R_+ \rightarrow \R$ e $\mbox{sen}:\R
\rightarrow [0,1]$, onde $\R_+$ \'e o conjunto dos n\'umeros reais n\~ao
negativos. Ent\~ao $(\mbox{sen} \circ \log):\R_+ \rightarrow [0,1]$
\'e a fun\c{c}\~ao que a cada $x \in \R_+$ associa o valor
$\mbox{sen}(\log(x))$. Por outro lado, $(\log \circ \mbox{sen})$
nem sempre est\'a definida (n\~ao existe $\log( \mbox{sen}(x))$,
quando $x= \frac{3\pi}{2}$). Isso mostra que, em geral $f \circ g
\neq g \circ f$, isto \'e, a composi\c{c}\~ao de fun\c{c}\~oes \'e n\~ao-comutativa.
\end{example}
\begin{proposition}
Sejam $f:A\rightarrow B$, $g:B \rightarrow C$ e $h:C\leftarrow D$
fun\c{c}\~oes. Ent\~ao,
$$
h\circ(g \circ f)=(h \circ g)\circ f:A \rightarrow D.
$$
\end{proposition}
\begin{proof}
Basta provar que para cada $a \in A$, $h((g \circ f)(a))=(h \circ
g)(f(a))$. Mas,
$$
h((g \circ f)(a))=h(g(f(a)))=(h \circ g)(f(a)).
$$
\end{proof}
\begin{theorem}
Se $f:A \rightarrow B$ e $g:B \rightarrow C$ s\~ao ambas injetoras
(sobrejetora), ent\~ao $g \circ f$ tamb\'em \'e injetora (sobrejetora).
\end{theorem}
\begin{proof}
Vamos mostrar inicialmente que, se $f:A \rightarrow B$ e $g:B
\rightarrow C$ s\~ao ambas injetoras, ent\~ao $g \circ f$ tamb\'em o \'e.
Sejam $a_1, a_2 \in A$ tais que $(g \circ f)(a_1)=(g \circ
f)(a_2)$. Ent\~ao, $g(f(a_1))=g(f(a_2))$. Como $g$ \'e injetora, segue
que $f(a_1)=f(a_2)$. Mas como $f$ tamb\'em \'e injetora, temos
$a_1=a_2$, o que prova que $g \circ f$ \'e injetora.
Vamos mostrar agora que, se $f:A \rightarrow B$ e $g:B \rightarrow
C$ s\~ao ambas sobrejetoras, ent\~ao $g \circ f$ tamb\'em o \'e. Dado $c
\in C$, existe $b \in B$ tal que $g(b)=c$, uma vez que $g$ \'e
sobrejetora. Por outro lado, como $f$ tamb\'em \'e sobre, existe $a \in A$
tal que $f(a)=b$. Logo,
$$
(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=c.
$$
Portanto, $g \circ f$ \'e sobrejetora.
\end{proof}
\begin{corollary}\label{comp-bi}
Se $f:A \rightarrow B$ e $g:B \rightarrow C$ s\~ao ambas bijetoras,
ent\~ao $g \circ f$ tamb\'em \'e bijetora.
\end{corollary}
Dado um conjunto $A$, iremos denotar por $\id_A$ a fun\c{c}\~ao
identidade de $A$, ou seja, $\id_A:A \rightarrow A$ \'e a fun\c{c}\~ao
definida por $\id_A(a)=a$.
\begin{theorem}\label{inversa-func}
Se $f:A \rightarrow B$ \'e uma fun\c{c}\~ao bijetora, ent\~ao existe uma
\'unica fun\c{c}\~ao tamb\'em bijetora, $g:B \rightarrow A$, tal que $g
\circ f = \id_A$ e $f \circ g = \id_B$. A fun\c{c}\~ao $g$ \'e chamada de
inversa de $f$ e \'e geralmente, denotada por $f^{-1}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Dado $b \in B$, como $f$ \'e bijetora existe $a \in A$ tal que
$f(a)=b$ e se $a' \in A$ tal que $f(a')=b$, ent\~ao $a'=a$, ou seja,
dado $b \in B$, existe um \'unico $a \in A$, satisfazendo $f(a)=b$.
Denotando tal $a$ por $g(b)$, definimos uma fun\c{c}\~ao $g:B
\rightarrow A$. Vamos mostrar que tal fun\c{c}\~ao satisfaz as
propriedades do teorema.
Temos que $(f \circ g)(b)=f(g(b))=f(a)=b$, ou seja $f \circ
g=\id_B$. Por outro lado $(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=a$, ou seja,
$g \circ f=\id_A$.
Vamos provar agora que $g$ tamb\'em \'e bijetora. Segue da defini\c{c}\~ao
de $g$ que a mesma \'e sobrejetora e portanto, basta mostrarmos que
a mesma e injetora. Sejam $b_1,b_2 \in B$ tais que
$g(b_1)=g(b_2)$. Ent\~ao, como $f \circ g=\id_B$, temos
$$
b_1=\id_B(b_1)=(f \circ g)(b_1)=f(g(b_1))=f(g(b_2))=(f \circ
g)(b_2)=\id_B(b_2)=b_2.
$$
o que mostra que $g$ \'e injetora.
Suponha agora que existe $h:B \rightarrow A$ satisfazendo $h \circ
f = \id_A$ e $f \circ h = \id_B$. Ent\~ao,
$$
h=h \circ \id_B= h \circ (f \circ g)= (h \circ f) \circ g)=\id_A
\circ g= g.
$$
Logo $g$ \'e \'unica.
\end{proof}
\begin{remark}
Note que se $g=f^{-1}$, ent\~ao $f=g^{-1}$.
\end{remark}
Se uma fun\c{c}\~ao $f:A \rightarrow B$ admite uma inversa, dizemos que
a mesma \'e \textsc{invers\'ivel}. Portanto, pelo teorema
(\ref{inversa-func}), toda fun\c{c}\~ao bijetora \'e invers\'evel. O pr\'oximo
resultado mostra que a rec\'iproca desta afirma\c{c}\~ao tamb\'em \'e
verdadeira.
\begin{proposition}\label{comp-bije}
Se $f:A \rightarrow B$ e $g:B \rightarrow A$ s\~ao fun\c{c}\~oes que
satisfazem $g \circ f = \id_A$ e $f \circ g = \id_B$, ent\~ao ambas
s\~ao bijetoras.
\end{proposition}
\begin{proof}
Vamos provar que $g$ \'e bijetora (a prova para $f$ \'e an\'aloga).
Sejam $b_1, b_2 \in B$ tais que $g(b_1)=g(b_2)$. Ent\~ao
$f(g(b_1))=f(g(b_2))$. Como $f \circ g = \id_B$, temos que
$\id_B(b_1)=\id_B(b_2)$, ou seja, $b_1=b_2$, provando que $g$ \'e
injetora.
Dado $a \in A$, temos
$$
a=\id_A(a)=(g \circ f)(a)=g(f(a)).
$$
Assim, tomando $b=f(a)$ teremos $g(b)=a$ e isto prova que $g$ \'e
sobrejetora.
\end{proof}
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\singlespacing
\bibliographystyle{abntex2-alf}
\bibliography{referencias}
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\end{document}