TEORÍA DE NÚMEROS
Forfatter:
Sebastian Alzate
Sidst opdateret:
10 år siden
Licens:
Creative Commons CC BY 4.0
Resumé:
Teoría de números
\begin
Opdag hvorfor 18 millioner mennesker verden rundt stoler på Overleaf med deres arbejde.
\begin
Opdag hvorfor 18 millioner mennesker verden rundt stoler på Overleaf med deres arbejde.
\documentclass[12pt,spanish]{article}
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\title{\textbf{TEOR\'IA DE N\'UMEROS}}
\author{Sebastian Alzate Vargas}
\date{19 de mayo}
\begin{document}
\maketitle
\textbf{1. EJERCICIO:} Obtenga la siguiente congruencia
\begin{align*}
a^7 \equiv a\ \mod(42) \ \ para \ todo \ a
\end{align*}
\textbf{prueba:}\\
\\
$\blacktriangleright$ por colorario sabemos que \begin{align*}
a^7 \equiv a \ \mod(7) \tag{i}
\end{align*}
\\
$\blacktriangleright$Ahora por teorema tenemos
\begin{align*}
a^1 &\equiv 1 \ \mod(2)\\
a^6 &\equiv 1 \ \mod(2)\\
a^6*a &\equiv 1*a \ \mod(2)\\
a^7 &\equiv a \ \mod(2) \tag{ii}
\end{align*}
\\
$\blacktriangleright$nuevamente por el teorema de Fermat \\
\begin{align*}
a^2 &\equiv 1 \ \mod(3)\\
a^6 &\equiv 1 \ \mod(3)\\
a^6*a &\equiv 1*a \ \mod(3)\\
a^7 &\equiv a \ \mod(3) \tag{iii}
\end{align*}\\
Luego de (i),(ii) y (iii) se concluye que:\\
\begin{align*}
\therefore a^7 &\equiv a \ \mod(7*2*3)\\
a^7 &\equiv a \ \mod(42)
\end{align*}
\rightline{$\blacksquare$}
\\
\\
\\
\\
\\
\textbf{2. EJERCICIO:} Usando congruencias, resolver la siguiente ecuacion diof\'antica
$$ 4x +51y = 9$$\\
\textbf{Prueba:}\\
tenemos que $\gcd(4,51)=1$\\
asi
\begin{align*}
4x &\equiv 9 \ \mod(51)\\
x &\equiv 15 \ \mod(51)
\end{align*}
ahora con x=15 tenemos que
$$4*(15)+51y = 9$$
$$y=-1$$\\
sabemos que
$$x=x_0+\frac{b}{d}t$$
$$y=y_0-\frac{a}{d}t$$
por tanto
$$x=15+ 51t$$
$$y=-1-4t$$
\rightline{$\blacksquare$}
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\\
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\\
\textbf{3. EJERCICIO:}
Obtenga tres enteros consecutivos, cada uno tiene factor cuadrado\\
\\
\textbf{Prueba:} Sea $2^2\mid a$,\ $3^2\mid a+1$,\ $5^2\mid a+2$\\
\\
\begin{align*}
\blacktriangleright a &\equiv 0 \ \mod(4)
\end{align*}
\
\begin{align*}
\blacktriangleright a+1 &\equiv 0 \ \mod(9) \\
a &\equiv -1 \ \mod(9) \\
-1 &\equiv 8 \ \mod(9) \\
a &\equiv 8 \ \mod(9)
\end{align*}
\
\begin{align*}
\blacktriangleright a+2 &\equiv 0 \ \mod(25) \\
a &\equiv -2 \ \mod(25) \\
-2 &\equiv 23 \ \mod(25 \\
a &\equiv 23 \ \mod(25)
\end{align*}
Ahora, utilizando el teorema Chino de los residuos, tenemos:
\begin{align*}
N = 4*9*25 = 900
\end{align*}
\begin{align*}
N_1&= 225 \\
N_2&= 100 \\
N_3&= 36
\end{align*}
\begin{align*}
b_1&= 0\\
b_2&= 8 \\
b_3&= 23
\end{align*}
Entonces,\\ \\
\
\begin{align*}
\blacktriangleright 225a_1 &\equiv 1 \ \mod(4) \\
a_1 &\equiv 1 \ \mod(4)
\end{align*}
\
\begin{align*}
\blacktriangleright 100a_2 &\equiv 1 \ \mod(9) \\
a_2 &\equiv 1 \ \mod(9)
\end{align*}
\
\begin{align*}
\blacktriangleright 36a_3 &\equiv 1 \ \mod(25) \\
11a_3 &\equiv 1 \ \mod(25) \\
a_3 &\equiv 16 \ \mod(25)
\end{align*}
Ahora la solucion, esta dada por
\begin{align*}
A &= N_1b_1a_1 + N_2b_2a_2 + N_3b_3a_3 \ \mod(N)\\
&= 225*0*1 + 100*8*1 + 36*23*16 \ \mod(900)\\
&= 800 + 13248 \ mod(900) \\
&= 14048 \ \mod(900)
\end{align*}
De lo cual,
\begin{align*}
14048 &\equiv 548 \ \mod(900)
\end{align*}
Por tanto $a = 548$, y asi\\
\begin{align}
a &= 548 \\
a + 1 &= 549 \\
a + 2 &= 550
\end{align}
\\
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\\
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\\
\textbf{4. EJERCICIO:} Muestre que si p=4k+3 \ es un primo y \ $a^2+b^2 \equiv 0 \ \mod(p)$,\ entonces
\begin{align*}
a \equiv b \equiv 0 \ \mod(p)
\end{align*} \\
\textbf{Prueba:} razonando por el absurdo supongamos que
$$a \not\equiv b \not\equiv 0 \ \mod (p)$$
Tenemos que \ $a \not\equiv 0 \ \mod(p)$ \ ahora por el teorema de Fermat obtenemos:
\begin{align}
a^{4k+2} \equiv 1 \ \mod (p) \tag{i}
\end{align}
Y por hipotesis tenemos que: $$a^2 \equiv -b^2 \ \mod(p)$$
elevando a ambos lados a 2k+1 $$(a^2)^{2k+1} \equiv (-1)^{2k+1}(b^2)^{2k+1} \ \mod(p) $$
de (i)
\begin{align*}
1 &\equiv -(b^2)^{2k+1} \ \mod(p) \\
1 &\equiv -b^{4k+2} \ \mod(p) \\
-1 &\equiv b^{4k+2} \ \mod(p) \tag{ii}
\end{align*}
como $ b \not \equiv 0 \ mod(p)$ por teorema de Fermat
\begin{align*}
b^{4k+2} \equiv 1 \ \mod(p) \tag{iii}
\end{align*}
Luego de (ii) y (iii)
$$-1 \equiv 1 \ \mod(p)$$
$$-2 \equiv 0 \ \mod(p)$$
$\longrightarrow \longleftarrow$ porque $p \nmid -2$ donde p=4k+3 \\
\begin{align*}
\therefore \ a \equiv b \equiv 0 \ \mod(p)
\end{align*} \\
\rightline{$\blacksquare$}
\\
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\\
\\
\\
\textbf{5. EJERCICIO:} muestre que $\sum_{d|n} \frac{1}{d} = \frac{\sigma(n)}{n}$ parta cada entero positivo.\\ \\
\textbf{Prueba:}
Por definicion tenemos que $\sigma(n) = \sum_{d|n} d$ \ que es la suma de todos los divisores de n; ahora podemos reescribir la formula como $\sum_{d|n}\frac{n}{d}$ \ que son los d que dividen a n, los cuales son divisores de n que a su vez diveden n. \\ \\
asi tenemos: $$\sigma(n)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}$$
dividiendo por n $$\frac{\sigma(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{1}{d}$$
\rightline{$\blacksquare$}
\end{document}