% \iffalse meta-comment
%
% Copyright (C) 2018--2023 by Xiangdong Zeng <xdzeng96@gmail.com>
%
% This work may be distributed and/or modified under the
% conditions of the LaTeX Project Public License, either
% version 1.3c of this license or (at your option) any later
% version. The latest version of this license is in:
%
% http://www.latex-project.org/lppl.txt
%
% and version 1.3 or later is part of all distributions of
% LaTeX version 2005/12/01 or later.
%
% This work has the LPPL maintenance status `maintained'.
%
% The Current Maintainer of this work is Xiangdong Zeng.
%
% \fi
%*********************************************************************
% fduthesis: 复旦大学论文模板
% 2023-05-27 v0.9a
%
% 重要提示：
% 1. 请确保使用 UTF-8 编码保存
% 2. 请使用 XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译
% 3. 请仔细阅读用户文档
% 4. 修改、使用、发布本文档请务必遵循 LaTeX Project Public License
% 5. 不需要的注释可以尽情删除
%*********************************************************************
\documentclass[type=doctor]{fduthesis}
% 模板选项：
% type = doctor|master|bachelor 论文类型，默认为本科论文
% oneside|twoside 论文的单双面模式，默认为 twoside
% draft = true|false 是否开启草稿模式，默认关闭
% 带选项的用法示例：
% \documentclass[oneside]{fduthesis}
% \documentclass[twoside, draft=true]{fduthesis}
% \documentclass[type=bachelor, twoside, draft=true]{fduthesis}
\fdusetup{
% 参数设置
% 允许采用两种方式设置选项：
% 1. style/... = ...
% 2. style = { ... = ... }
% 注意事项：
% 1. 不要出现空行
% 2. “=” 两侧的空格会被忽略
% 3. “/” 两侧的空格不会被忽略
% 4. 请使用英文逗号 “,” 分隔选项
%
% style 类用于设置论文格式
style = {
% font = times,
% 西文字体（包括数学字体）
% 允许选项：
% font = garamond|libertinus|lm|palatino|times|times*|none
%
% cjk-font = fandol,
% 中文字体
% 允许选项：
% cjk-font = adobe|fandol|founder|mac|sinotype|sourcehan|windows|none
%
% 注意：
% 1. 中文字体设置高度依赖于系统。各系统建议方案：
% windows：cjk-font = windows
% mac： cjk-font = mac
% linux： cjk-font = fandol（默认值）
% 2. 除 fandol 和 sourcehan 外，其余字体均为商用字体，请注意版权问题
% 3. 但 fandol 字体缺字比较严重，而 sourcehan 没有配备楷体和仿宋体
% 4. 这里中西文字体设置均注释掉了，即使用默认设置：
% font = times
% cjk-font = fandol
% 5. 使用 font = none / cjk-font = none 关闭默认字体设置，需手动进行配置
%
% font-size = -4,
% 字号
% 允许选项：
% font-size = -4|5
%
% fullwidth-stop = catcode,
% 是否把全角实心句点 “．” 作为默认的句号形状
% 允许选项：
% fullwidth-stop = catcode|mapping|false
% 说明：
% catcode 显式的 “。” 会被替换为 “．”（e.g. 不包括用宏定义保存的 “。”）
% mapping 所有的 “。” 会被替换为 “．”（使用 LuaLaTeX 编译则无效）
% false 不进行替换
%
footnote-style = xits,
% 脚注编号样式
% 允许选项：
% footnote-style = plain|libertinus|libertinus*|libertinus-sans|
% pifont|pifont*|pifont-sans|pifont-sans*|
% xits|xits-sans|xits-sans*
% 默认与西文字体保持一致
%
% hyperlink = color,
% 超链接样式
% 允许选项：
% hyperlink = border|color|none
%
% hyperlink-color = default,
% 超链接颜色
% 允许选项：
% hyperlink-color = default|classic|material|graylevel|prl
%
bib-backend = bibtex,
% 参考文献支持方式
% 允许选项：
% bib-backend = bibtex|biblatex
%
% bib-style = numerical,
% 参考文献样式
% 允许选项：
% bib-style = author-year|numerical|<其他样式>
% 说明：
% author-year 著者—出版年制
% numerical 顺序编码制
% <其他样式> 使用其他 .bst（bibtex）或 .bbx（biblatex）格式文件
%
% cite-style = {},
% 引用样式
% 默认为空，即与参考文献样式保持一致
% 仅适用于 biblatex；如要填写，需保证相应的 .cbx 格式文件能被调用
%
bib-resource = {main.bib},
% 参考文献数据源
% 可以是单个文件，也可以是用英文逗号 “,” 隔开的一组文件
% 如果使用 biblatex，则必须明确给出 .bib 后缀名
%
% logo = {fudan-name.pdf},
% 封面中的校名图片
% 模版已自带，通常不需要额外配置
%
% logo-size = {0.5\textwidth}, % 只设置宽度
% logo-size = {{}, 3cm}, % 只设置高度
% logo-size = {8cm, 3cm}, % 设置宽度和高度
% 设置校名图片的大小
% 通常不需要调整
%
% declaration-page = {declaration.pdf},
% 插入扫描版的声明页 PDF 文档
% 默认使用预定义的声明页，但不带签名
%
% auto-make-cover = true
% 是否自动生成论文封面（封一）、指导小组成员名单（封二）和声明页（封三）
% 除非特殊需要（e.g. 不要封面），否则不建议设为 false
},
%
% info 类用于录入论文信息
info = {
title = {论文标题},
% 中文标题
% 长标题建议使用 “\\” 命令手动换行（不是指在源文件里输入回车符，当然
% 源文件里适当的换行可以有助于代码清晰）：
% title = {最高人民法院、最高人民检察院关于适用\\
% 犯罪嫌疑人、被告人逃匿、死亡案件违法所得\\
% 没收程序若干问题的规定},
%
title* = {Thesis Title},
% 英文标题
%
author = {王二},
% 作者姓名
%
% author* = {Your name},
% 作者姓名（英文 / 拼音）
% 目前不需要填写
%
supervisor = {某某某\quad 教授},
% 导师
% 姓名与职称之间可以用 \quad 打印一个空格
%
major = {物理学},
% 专业
%
degree = academic,
% 学位类型
% 允许选项：
% degree = academic|professional
% 说明：
% academic 学术学位
% professional 专业学位
%
department = {物理系},
% 院系
%
student-id = {12300000000},
% 作者学号
%
% date = {2023 年 1 月 1 日},
% 日期
% 注释掉表示使用编译日期
%
% secret-level = ii,
% 密级
% 允许选项：
% secret-level = none|i|ii|iii
% 说明：
% none 不显示密级与保密年限
% i 秘密
% ii 机密
% iii 绝密
%
% secret-year = {五年},
% 保密年限
% secret-level = none 时该选项无效
%
instructors = {
{张\quad 三 \quad 教\quad 授},
{李\quad 四 \quad 教\quad 授},
{王五六 \quad 研究员}
},
% 指导小组成员
% 使用英文逗号 “,” 分隔
% 如有需要，可以用 \quad 手工对齐
%
keywords = {不确定关系, 量子力学, 理论物理},
% 中文关键词
% 使用英文逗号 “,” 分隔
%
keywords* = {Uncertainty principle, quantum mechanics, theoretical physics},
% 英文关键词
% 使用英文逗号 “,” 分隔
%
clc = {O413.1},
% 中图分类号
%
% jel = {C02},
% JEL 分类号，仅适用于经济学院等部分院系
}
}
% 需要的宏包可以自行调用
\usepackage{physics}
% 需要的命令可以自行定义
\newcommand{\hilbertH}{\symcal{H}}
\newcommand{\ee}{\symrm{e}}
\newcommand{\ii}{\symrm{i}}
\begin{document}
% 这个命令用来关闭版心底部强制对齐，可以减少不必要的 underfull \vbox 提示，但会影响排版效果
% \raggedbottom
% 前置部分包含目录、中英文摘要以及符号表等
\frontmatter
% 目录
\tableofcontents
% 插图目录
\listoffigures
% 表格目录
% \listoftables
\begin{abstract}
中文摘要
\end{abstract}
\begin{abstract*}
English abstract
\end{abstract*}
% 符号表
% 语法与 LaTeX 表格一致：列用 & 区分，行用 \\ 区分
% 如需修改格式，可以使用可选参数：
% \begin{notation}[ll]
% $x$ & 坐标 \\
% $p$ & 动量
% \end{notation}
% 可选参数与 LaTeX 标准表格的列格式说明语法一致
% 这里的 “ll” 表示两列均为自动宽度，并且左对齐
\begin{notation}[ll]
$x$ & 坐标 \\
$p$ & 动量 \\
$\psi(x)$ & 波函数 \\
$\bra{x}$ & 左矢（bra） \\
$\ket{x}$ & 右矢（ket） \\
$\ip{\alpha}{\beta}$ & 内积 \\
\end{notation}
% 主体部分是论文的核心
\mainmatter
% 建议采用多文件编译的方式
% 比较好的做法是把每一章放进一个单独的 tex 文件里，并在这里用 \include 导入，例如
% \include{chapter1}
% \include{chapter2}
% \include{chapter3}
\chapter{介绍}
\strong{量子力学}是物理学的分支学科。它主要描写微观的事物，与相对论一起被认为是现代物理学的两大
基本支柱，许多物理学理论和科学，如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科，
都是以其为基础\cite{曾谨言2013量子力学,feynman2011feynman}。
\section{量子力学历史概要}
\section{研究对象}
\section{研究方法}
\chapter{数学基础}
\section{基础公设}
整个量子力学的数学理论可以建立于五个基础公设。这些公设不能被严格推导出来的，而是从实验结果仔细分析
归纳总结而得到的。从这五个公设，可以推导出整个量子力学。假若量子力学的理论结果不符合实验结果，
则必须将这些基础公设加以修改，直到没有任何不符合之处。至今为止，量子力学已被实验核对至极高准确度，
还没有找到任何与理论不符合的实验结果，虽然有些理论很难直觉地用经典物理的概念来理解，例如，波粒
二象性、量子纠缠等等\cite{zurek2014quantum,cohen2013claude,zettili2003quantum}。
\begin{enumerate}
\item 量子态公设：量子系统在任意时刻的状态（量子态）可以由希尔伯特空间 $\hilbertH$ 中的态矢量
$\ket{\psi}$ 来设定，这态矢量完备地给出了这量子系统的所有信息。这公设意味着量子系统遵守%
\emph{态叠加原理}，假若 $\ket*{\psi_1}$、$\ket*{\psi_2}$ 属于希尔伯特空间 $\hilbertH$，则
$c_1\ket*{\psi_1} + c_2\ket*{\psi_2}$ 也属于希尔伯特空间 $\hilbertH$。
\item 时间演化公设： 态矢量为 $\ket{\psi(t)}$ 的量子系统，其动力学演化可以用薛定谔方程表示：
\begin{equation}
\ii\hbar \pdv{t} \ket{\psi(t)} = \hat{H} \ket{\psi(t)}.
\end{equation}
其中，哈密顿算符 $\hat{H}$ 对应于量子系统的总能量，$\hbar$ 是约化普朗克常数。根据薛定谔方程，
假设时间从 $t_0$ 变化到 $t$，则态矢量从 $\ket*{\psi(t_0)}$ 演化到 $\ket{\psi(t)}$，该过程以
方程表示为
\begin{equation}
\ket{\psi(t)} = \hat{U}(t,\,t_0) \ket*{\psi(t_0)}.
\end{equation}
其中 $\hat{U}(t,\,t_0) = \ee^{-\ii\hat{H}(t-t_0) / \hbar}$ 是时间演化算符。
\item 可观察量公设：每个可观察量 $A$ 都有其对应的厄米算符 $\hat{A}$，而算符 $\hat{A}$ 的所有
本征矢量共同组成一个完备基底。
\item 坍缩公设：对于量子系统测量某个可观察量 $A$ 的过程，可以数学表示为将对应的厄米算符
$\hat{A}$ 作用于量子系统的态矢量 $\ket{\psi}$，测量值只能为厄米算符 $\hat{A}$ 的本征值。
在测量后，假设测量值为 $a_i$，则量子系统的量子态立刻会坍缩为对应于本征值 $a_i$ 的本征态
$\ket*{e_i}$。
\item 波恩公设：对于这测量，获得本征值 $a_i$ 的概率为量子态 $\ket{\psi}$ 处于本征态 $\ket*{e_i}$
的概率幅的绝对值平方。\footnote{%
使用可观察量 $A$ 的基底 $\qty{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n}$，量子态 $\ket{\psi}$ 可以表示为
$\ket{\psi} = \sum_j c_j \ket*{e_j}$，其中 $c_j$ 是量子态 $\ket{\psi}$ 处于本征态
$\ket*{e_j}$ 的概率幅。根据波恩定则，对于此次测量，获得本征值 $a_i$ 的概率为
$\abs*{\ip*{e_i}{\psi}}^2 = \abs*{c_i}^2$。}
\end{enumerate}
\section{量子态与量子算符}
量子态指的是量子系统的状态，态矢量可以用来抽象地表现量子态。采用狄拉克标记，态矢量表示为右矢
$\ket{\psi}$；其中，在符号内部的希腊字母 $\psi$ 可以是任何符号、字母、数字，或单字。例如，
沿着磁场方向测量电子的自旋，得到的结果可以是上旋或是下旋，分别标记为 $\ket{\uparrow}$ 和
$\ket{\downarrow}$。
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{example-image.png}
\caption[施特恩—格拉赫实验]{%
设定施特恩—格拉赫实验仪器的磁场方向为 $z$-轴，入射的银原子束可以被分裂成两道银原子束，每一道
银原子束代表一种量子态，上旋 $\ket{\uparrow}$ 或下旋 $\ket{\downarrow}$%
\cite{wikimedia:stern-gerlach-experiment}。}
\label{fig:stern-gerlach-experiment}
\end{figure}
对量子态做操作定义，量子态可以从一系列制备程序来辨认，即这程序所制成的量子系统拥有这量子态。例如，
使用施特恩—格拉赫实验仪器，设定磁场朝着 $z$-轴方向，如图~\ref{fig:stern-gerlach-experiment} 所示，
可以将入射的银原子束，依照自旋的 $z$-分量分裂成两道，一道为上旋，量子态为 $\ket{\uparrow}$；另一道
为下旋，量子态为 $\ket{\downarrow}$，这样，可以制备成量子态为 $\ket{\uparrow}$ 的银原子束，或量子态
为 $\ket{\downarrow}$ 的银原子束。原本银原子束的态矢量可以按照态叠加原理表示为
\begin{equation}
\ket{\psi} = \alpha \ket{\uparrow} + \beta \ket{\downarrow}.
\end{equation}
其中，$\alpha$、$\beta$ 是复值系数，$\abs{\alpha}^2$、$\abs{\beta}^2$ 分别为入射银原子束处于上旋、
下旋的概率，且有
\begin{equation}
\abs{\alpha}^2 + \abs{\beta}^2 = 1.
\end{equation}
\section{动力学演化}
\chapter{总结与展望}
% 附录部分
\appendix
\chapter{公式推导}
% 后置部分包含参考文献、声明页（自动生成）等
\backmatter
% 打印参考文献列表
\printbibliography
\begin{acknowledgements}
致谢
\end{acknowledgements}
\end{document}
