Nas condições de Nyquist, provamos que a Transformada Discreta Sequencial de Hilbert Hd possui as mesmas características que a Transformada Contínua de Hilbert . Em particular ela é a Média de uma família de Operadores Diádicos Discretos (Operadores Ш).
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\title[ DUAS TRANSFORMADAS DISCRETAS DE HILBERT]{SALÃO UFRGS 2015:\\
"DUAS TRANSFORMADAS \\ DISCRETAS DE HILBERT"}
\subtitle{PIBIC-CNPq 2014-2015 }
\author{ARMAND AZONNAHIN}
\institute{UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL}
%\institute{JEAN CARLO PECH DE MORAES }
\date{\today}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
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\begin{frame}{Conteúdo}
\tableofcontents
\end{frame}
\section{Introdução}
\begin{frame}{Introdução }
\begin{itemize}
\item Vinculado ao projeto de pesquisa “Estimativas de dois pesos para paraprodutos diádicos ’’,
onde procuramos desenvolver novas estimativas e representações para importantes operadores
em análise harmônica diádica e discreta, o nosso estudo tem como objetivo principal
“Desenvolver uma teoria de representação para as Transformadas Discretas de Hilbert (TDH)
análoga à famosa representação de Stefanie Petermichl para a Transformada Contínua de
Hilbert (TCH)’’.
\pause
\item Petermichl provou que a TCH pode ser escrita como a média de uma família
de operadores diádicos (operadores Sha).
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Objetivo}
\begin{frame}{Objetivo }
\begin{itemize}
\item
Desenvolver uma teoria de representação para as Transformadas Discretas de Hilbert (TDH)
análoga à famosa representação de Stefanie Petermichl para a Transformada Contínua de
Hilbert (TCH).
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Metodologia}
\begin{frame}{Metodologia}
\begin{itemize}
\item Existem distintas maneiras de se definir a TDH, por
isso o primeiro passo do nosso projeto foi descobrir qual das diferentes definições da TDH
pode ser representada por uma representação análoga à representação de Petermichl para a
TCH.
\pause
\item Para tanto, adotamos uma metodologia baseada em experimentos numéricos e
simulações no MATLAB onde comparamos o crescimento da norma das diferentes
representações da TDH truncada com a média de operadores truncados de Sha.
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Nomenclatura}
\medskip
\begin{frame}{Nomenclatura}
Pelo ''Valor Principal de Cauchy'', escrevemos a Transformada Contínua de Hilbert do sinal $s(t)$ na seguinte forma :
\begin{equation}
H\{s(t)\}=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{s(y)}{t-y}dy
\end{equation}
enquanto que definimos a Transformada Discreta Sequencial de Hilbert por :
\begin{equation}
\begin{split}
(H^{d}x)(i):=\sum_{j\in \mathbb{Z},j\neq i}^{}\frac{x_{j}}{i-j}
\end{split}
\end{equation}
para $i\in \mathbb{Z} $, onde $x=\{x_{n}\}_{n\in \mathbb{Z}} $ , \\
e a Transformada Discreta Finita de Hilbert por :
\begin{equation}
\begin{split}
(H_{N}x)(i):=\sum_{|j|\le N,j\neq i}^{}\frac{x_{j}}{i-j}
\end{split}
\end{equation}
para $|i|\le N $, onde $x\in \mathbb{R}^{2N+1}$ .
\end{frame}
\vfill
\section{Resultados Conhecidos}
\begin{frame}{Resultados Conhecidos}
\medskip
\begin{block}{RESULTADO $1$ (Provado por Loukas Grafakos)}
A Transformada Discreta Finita de Hilbert $H_{N}$ é limitada em $l^{2}(\mathbb{Z}_{2N+1})$, com cotas superiores independentes da dimensão $N$, isto é, existe uma constante $C > 0$ independente de $N$ tal que :
\begin{equation}
||H_{N}x||_{l^{2}(\mathbb{Z}_{2N+1})} \le C||x||_{l^{2}(\mathbb{Z}_{2N+1})}
\end{equation}
\\
para todos os vetores $x \in l^{2}(\mathbb{Z}_{2N+1})$.
\end{block}
\vfill
%\medskip
\end{frame}
\begin{frame}{Resultados Conhecidos}
\medskip
\begin{block}{RESULTADO $2$ (Provado por Loukas Grafakos)}
Se pudermos ver a Transformada Discreta Sequencial de Hilbert $H^{d}$ como sendo o limite de $H_{N}$ quando $N \rightarrow \infty $, então $H^{d}$ deve ser um operador limitado em $l^{2}(\mathbb{Z})$, isto é, existe uma constante $C > 0$ tal que :
\begin{equation}
||H^{d}x||_{l^{2}(\mathbb{Z})} \le C||x||_{l^{2}(\mathbb{Z})}
\end{equation}
\\
para todos os vetores $x \in l^{2}(\mathbb{Z})$.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Resultados Conhecidos}
\medskip
\begin{block}{Aplicações da Transformada Discreta de Hilbert }
\begin{itemize}
\item Descrição de sinais analíticos e redes de fase mínima;
\item Geração do espectro de fase de um sinal dado o seu espectro em magnitude;
\item Análise espectral \ldots
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\section{Resultados Novos}
\begin{frame}{Resultados Novos}
\begin{itemize}
\item A Transformada Discreta de Hilbert ($DHT$) para dados discretos $f(nT)$, $n=(-\infty, ..., -1,0,1,...,\infty)$, é dada por:
$$DHT\{f(nT)\}=g(kT)=\left\{\begin{array}{rc}
\frac{2}{\pi}\sum_{n,impar}^{}\frac{f(nT)}{k-n},&\mbox{se}\quad k \quad par ,\\
\frac{2}{\pi}\sum_{n,par}^{}\frac{f(nT)}{k-n},&\mbox{se}\quad k \quad impar.
\end{array}\right.
$$
\pause
\item A Transformada inversa é dada por:
$$f(nT)=\left\{\begin{array}{rc}
-\frac{2}{\pi}\sum_{k,impar}^{}\frac{g(kT)}{k-n},&\mbox{se}\quad n \quad par ,\\
-\frac{2}{\pi}\sum_{k,par}^{}\frac{g(kT)}{k-n},&\mbox{se}\quad n \quad impar.
\end{array}\right.
$$
''Podemos mostrar que $f(nT)$ é bem definida ''.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Resultados Novos}
\begin{itemize}
\item Agora, para estabelecer a analogia entre a $DHT$ e a Tansformada de Hilbert Contínua, podemos considerar o sinal $s(t)$, banda limitada a $\omega_{0}$ rad/s. Então expandindo, temos:
\begin{equation}
\begin{split}
s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)\frac{sen \omega_{0}(t-nT)}{\omega_{0}(t-nT)}
\end{split}
\end{equation} onde
$T=\frac{\pi}{\omega_{0}}$
\pause
\item Usando o ''Valor Principal de Cauchy'', escrevemos a Transformada Contínua de Hilbert de $s(t)$ na seguinte forma :
\begin{equation}
H\{s(t)\}=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{s(y)}{t-y}dy
\end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Resultados Novos}
\begin{itemize}
\item Assim, temos:
\begin{equation}
\begin{split}
H\{s(t)\}=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{t-y}s(nT)\frac{sen \omega_{0}(y-nT)}{\omega_{0}(y-nT)}dy
\end{split}
\end{equation}
\pause
\item Ou seja, usando a tabela de integral de transformadas, temos:
\begin{equation}
\begin{split}
H\{s(t)\}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)[\frac{1-\cos \omega_{0}(t-nT)}{\omega_{0}(t-nT)}]
\end{split}
\end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Resultados Novos}
\begin{itemize}
\item Podemos também expandir $H\{s(t)\}$. Nos períodos de Nyquist $t=kT$, temos
\begin{equation}
\begin{split}
H\{s(kT)\}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)[\frac{1-\cos \pi(k-n)}{\pi(k-n)}]
\end{split}
\end{equation}
\item E portanto temos:
\begin{equation}
\begin{split}
H\{s(kT)\}=\left\{\begin{array}{rc}
\frac{2}{\pi}\sum_{n,impar}^{}\frac{s(nT)}{k-n},&\mbox{se}\quad k \quad par ,\\
\frac{2}{\pi}\sum_{n,par}^{}\frac{s(nT)}{k-n},&\mbox{se}\quad k \quad impar.
\end{array}\right.
\end{split}
\end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Resultados Novos}
\begin{itemize}
\item Vejamos então que a Transformada de Hilbert Contínua e a $DHT$ são completamente análogas e os teoremas estabelecidos para a primeira podem ser facilmente extendidos para incluir a segunda.\\ Pela Teoria de S. Petermichl, temos que:
\begin{equation}
\begin{split}
H\{f(x)\}=-\frac{8}{\pi}<III>f(x) \\H\{f(x)\}:=-\frac{8}{\pi}\int_{1}^{2}\int_{\{0,1\}^{\mathbb{Z}}}^{}III^{\beta,r}f(x)d\mu(\beta)\frac{dr}{r} \\H\{f(x)\}=:-\frac{8}{\pi} \mathbb{E}III^{\beta,r}f(x)
\end{split}
\end{equation}
Ou seja,
\begin{equation}
\begin{split}
H=:-\frac{8}{\pi} \mathbb{E}III^{\beta,r}
\end{split}
\end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Resultados Novos}
\begin{itemize}
\item Por analogia, deduzimos que:
\begin{equation}
\begin{split}
DHT\{f(nT)\}=-\frac{8}{\pi}<III>f(nT)
\end{split}
\end{equation}
Ou seja,
\begin{equation}
\begin{split}
DHT=-\frac{8}{\pi} \mathbb{E}<III>
\end{split}
\end{equation}
\item Portanto a Transformada Discreta Sequencial de Hilbert é uma Média de Operadores Diádicos Discretos (Operadores $Sha$).
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Conclusão}
\begin{frame}{CONCLUSÃO}
\medskip
\begin{block}{}
Nas condições de Nyquist, provamos que a Transformada Discreta Sequencial de Hilbert $H^{d}$ possui
as mesmas características que a Transformada Contínua de Hilbert . Em particular ela é a Média de uma família de Operadores Diádicos Discretos (Operadores $Sha$).
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Refer\^{e}ncias }
\begin{itemize}
\item Lesley A.Ward, María Craistina Pereyra. Harmonic Analysis:From Fourier to Wavelets. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence, Rholde Island, 2012. p. 410 ISBN 978-0-8218-7566-7
\item Loukas Grafakos, An elementary proof of the square summability of the discrete Hilbert transform, Amer.Math. Monthly 101,N°5 (1994),456-460, Washington University
\item Rami Shakarchi, Elias M. Stein. Fourier Analysis:An introduction. [S.l.]: Princeton University Press, 2003. p. "16-117". ISBN 0-691-11384-X
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Contato}
\begin{itemize}
\item ARMAND AZONNAHIN, Matemática Computacional, UFRGS, armand.azonnahin@gmail.com
\item www.overleaf.com (galeria da UFRGS)
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Agradecimentos}
\begin{center}
{\Huge Obrigado pela Aten\c{c}\~{a}o !}
\end{center}
\end{frame}
\end{document}